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Basics: dimensional analysis

I decide to begin writing some back-of-the-envelope stuff in this blog; mostly very basic things.

Consider Dirac fermion coupled to $U(1)$ field.

$$\mathcal{L}=\bar{\psi}\gamma^\mu (\partial_\mu-iA_\mu) \psi - \frac{1}{e^2} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}. $$

In d spacetime dimensions, the first part in the kinetic term implies $[\partial]+2[\psi]=d$, leading to $[\psi]=(d-1)/2$. The second part leads to $2[\psi]+[A]=d$. Plugging in the value for $[\psi]$, we have $[A]=1$, then $[F]=2$.

Using this and plug back in the Maxwell term $2[F]-[e^2]=d$, we arrive at $[e^2]=4-d$.

When we are in 3+1d, the gauge coupling is thus dimensionless. For 2+1d, the gauge coupling has dimension $[e^2]=1$, so this theory is strongly coupled in the infrared. Also, the potential energy between two charges increases logarithmically with respect to the distance between them, which is a very mild form of confinement.


References: 

[1] David Tong, Lectures on gauge theory, chapter 8. http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory.html 

[2] Chat with Hao-Yu Sun.


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上次搭档过生日,我写了三十条夸他的小列表,很多人评论说好甜。那算什么甜!还有更甜的。那三十条都是夸他本身的,并没写太多我俩之间的互动。我就写写。比起夸他,更像是秀恩爱。 领证那天我写过一次,但结了婚又有了小孩,我再重新写写,齁死你们。 1. 怀孕时帮我系鞋带穿袜子剪趾甲包揽所有事,洗好澡还会帮我涂身体乳防妊娠纹。 2. 我偷懒睡觉时,他从不叫醒我。从不。只是帮我把该我做的家务做了。 3. 小孩有时候手脚没轻没重弄疼我,我就委委屈屈窝进他怀里告状。他就会抱紧我然后训斥小孩。 4. 我们会趁小孩睡着,把他丢在家里(开着监控),偷跑出去看夜场电影。 5. 小孩嘴馋,会哭着叫“肉”、“葡萄”、“bagel”之类,搭档就慌忙去给他准备。往往把孩子弄好了,我又扁扁嘴跟着叫“cereal”,“葡萄”之类,搭档就也无奈地笑着给我准备。 6. 冬天我手脚冷,坐在一起时往往自然地把四肢往他身上搁,他会握住我的脚,还会找一些够得到的衣物把我盖好。 7. 他会给我编辫子。 8. 有次他喝咖啡,我觉得咖啡闻起来很香,就去亲他。果然唇齿留香。后来他又喝一口,反过来亲我。 9. 好吃的好喝的,最后几口,都会留给我。往往我们谦让半天,然后觉得好笑。 10. 不可描述时,非常尊重我的意愿。我们都乐于满足对方的需求和幻想。 11. 分别时,会吻我。 12. 我的耳洞是他给打的。 13. 常会在睡梦中翻身抱我。 14. 我想要买的东西,他从不拒绝,总是很痛快地同意。 15. 我们总有说走就走的旅行,往往一拍即合。 16. 他去超市买菜总会买回我喜欢吃的。 17. 他会保护我。即便站在我对面的,也是对他很重要的人。 18. 几乎从不批评指责我。(其实很多时候我需要他的批评。) 19. 我们会陪对方看自己不喜欢看的节目。 20. 他一抱我,我就困了。我总说他自带困场。反过来也一样。 21. 我叫他哥哥,他会叫我宝宝。孩子也跟他学,错认为我们家的宝宝是我,怎么也改不过来。 22. 他会给孩子讲各种科普知识,小孩对太阳系的认知已经超过了我。 23. 我给他剪头发剪得很丑,他也不怪我。 24. 只在我的要求下,给我写过一封情书。长消息也非常少发。可是每次都能把我看哭。 25. 领证那天,紧张得把钥匙和戒指缠在一起,抖着手半天才分开来;还把自己的名字念错。 26. 不是一个浪漫的人,可是会带我去他能想到的浪漫地方。

博后三年

目录 一、工作 1. 无情的事实 2. 研究 3. 角色转换 二、生活 1. 作为母亲 2. 作为妻女 3. 作为朋友和自己 三、其他感想 1. 钱财 2. 海内与海外 3. 结尾必然要盲目乐观